Bab 9. Analisis Regresi dan Analisis Korelasi


ANALISIS REGRESI & KORELASI

Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah/variabel bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y). dalam penelitian peubah bebas ( X) biasanya peubah yang ditentukan oleh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan dimasukkan kedalam peubah bebas (X), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak bebas (Y). Sedangkan peubah tak bebas (Y) dalam penelitian berupa respon yang diukur akibat perlakuan/peubah bebas (X). misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam pada umur tertentu dan sebagainya.

     Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinom derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial, logaritma, sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi biasanya dilakukan transformasi supaya menjadi bentuk polinom.

      Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu peubah bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y) mempunyai persamaan:

      Y =a +bx

Disini a disebut intersep dan b adalah koefisien arah atau koefisien beta.

      Dalam pengertian fungsi persamaan garis Y + a + bx hanya ada satu yang dapat dibentuk dari dua buah titik dengan koordinat yang berbeda yaitu ( X₁, Y₁) dan X_2,Y₂). Hal ini berarti kita bisa membuat banyak sekali persamaan garis dalam bentuk lain melalui dua buat titik yang berbeda koordinatnya/tidak berimpit.

            Persamaan garis melalui dua buah titik dirumuskan sebagai berikut:

Persamaan Garis Regresi

Sebagai contoh misalnya titik A (1,3) dan titik B ($,9) maka persamaan garis linear yang dapat dibuat adalah:

Persamaan Garis Linear

Dalam bentuk matrik bisa kita buat persaman sebagai berikut:

Matrix Regresi Linear

Jadi a=1 dan b=2 sehingga persamaannya Y=1 +2X

Jika jumlah data sebanyak n maka persamaannya sebagai berikut:

Disini β_o adalah penduga a, β₁ adlah penduga b dan ε_i merupakan besarnya simpangan persamaan garis penduga. Semakin kecil nilai ε_i persamaan regresi yang diperoleh akan semakin baik.

Jadi kita dapat menuliskan pengamatan kita menjadi:

Dengan notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut:

Jadi kita peroleh matrik Y,X,β dan ε dengan dimensi sebagai berikut :

Jika diasumsikan E(ε) = 0 maka E(Y) = Xβ

      Bila modelnya benar β merupakan penduga terbaik yaitu dengan jalan melakukan penggandaan awal dengan X’ sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut:

Jadi β=(X’X)^-1X’Y

Disini(X’X)^-1 adalah kebalikan (inverse) dari matrik X’X

Contoh :

      Seorang peneliti ingin mengetahui bentuk hubungan antara jumlah cacing jenis tertentu dengan jumlah telurnya pada usus ayam buras. Untuk tujuan tersebut diperiksa 20 ekor ayam dan ditemukan sebagai berikut:

Tabel 1 jumlah cacing dan jumlah telurnya pada usus ayam buras.

Dari data diatas kita bisa menghitung:

Bila kita duga bentuk hubungan antara jumlah cacing (X) dan jumlah telurnya (Y) adalah:

Jadi Ŷ=-2,442 + 4,103 Xi,

Persamaan garis regresi Yi =-2,442 + 4,103 Xi bukanlah satu-satunya garis penduga untuk menyatakan hubungan antara jumlah cacing dengan jumlah telurnya. Sudah barang tentu masih banyak lagi bentuk persamaan penduga yang dapat dibuat misalnya dalam bentuk persamaan Yi=β_o+β₁X_i+β₂X_i²,Yi=β_oX_i^β1 (dalam bentuk linear LnYi=Ln β_o+β_iLnXi) dan masih banyak lagi bentuk yang lainnya.

Untuk menyatakan apakah garis yang diperoleh cukup baik untuk menggambarkan hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) dapat dilakukan pengujian bentuk model yang digunakan dan keeratan hubungannya (korelasi) untuk menyatakan ketepatan dan ketelitian persamaan garis regresi yang diperoleh.

 

 Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut : Y = a + b X. Keterangan : Y : Variabel terikat (Dependent Variable); X : Variabel bebas (Independent Variable); a : Konstanta; dan b : Koefisien Regresi. Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N)
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]

Contoh :
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X) terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :

(nilai ujian)	X (lama belajar)	X 2	XY
40	4	16	160
60	6	36	360
50	7	49	350
70	10	100	700
90	13	169	1.170
ΣY = 310	ΣX = 40	ΣX2 = 370	ΣXY = 2.740

Dengan menggunakan rumus di atas, nilai a dan b akan diperoleh sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4

b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4

Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa : 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}

Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :

Sampel	X (statistik)	Y (matematika)	XY	X2	Y2
1	2	3	6	4	9
2	5	4	20	25	16
3	3	4	12	9	16
4	7	8	56	49	64
5	8	9	72	64	81
Jumlah	25	28	166	151	186

r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94

Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.

 

Sumber :  http://statistikian.blogspot.com/2012/08/analisis-regresi-korelasi.html

                http://ssantoso.blogspot.com/2008/08/analisis-regresi-dan-korelasi-materi.html

Bab 8. Analisis Variansi

Analisis varians (analysis of variance, ANOVA) adalah suatu metode analisis statistika yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Dalam literatur Indonesia metode ini dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari masalah Behrens-Fisher, sehingga uji-F juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak statistika modern. Dalam praktik, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis (lebih sering dipakai) maupun pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan).
Pada materi sebelumnya, apabila peneliti ingin menguji perbedaan dari rata-rata satu kelompok atau rata-rata dua kelompok uji z dan uji t. Gimana jika kelompoknya tiga atau lebih apakah uji tersebut masih bisa digunakan? untuk uji perbedaan rata-rata tiga kelompok atau lebih uji f  yaitu dengan menggunakan Anova (analysis of variance).

Kenapa namanya Analysis of variance kenapa bukan analysis of means kan yang mau diuji means atau rata-ratanya? Awalnya juga aku mikir kayak gitu. ternyata maksud dari analisis ragam yaitu apabila kita ingin menguji apakah ada perbedaan rata-rata tiga kelompok atau lebih dengan membandingkan varians. dengan membandingkan varians itu kita bisa mengetahui apakah terdapat perbedaan atau tidak. perbandingan antar varians ini merupakan uji f tadi. untuk lebih jelasnya nanti akan dibahas.

Hipotesis dalam Anova (analysis of variance):

Dalam analysis of variance hanya satu hipotesis yang digunakan yaitu hipotesis dua arah (two tail). artinya hipotesis ini yaitu apakah ada perbedaan rata-rata. kita cuma pengen tahu itu, tidak spesifik yang mana yang berbeda. Nah kalau mau tahu kelompok yang benar-benar terdapat perbedaan rata-rata ada uji lanjutan dilakukan uji lanjutan. kalau tentang itu akan dibahas di lain tempat. Berikut hipotesis dalam Anova.

H0: μ1 = μ2 = μ3 = ... = μn, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari n kelompok
H1: μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 ≠ ... ≠ μn, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari n kelompok

Alasan penggunaan ANOVA

Uji hipotesis dengan ANOVA digunakan, setidaknya karena beberapa alasan berikut:

1. Memudahkan analisa atas beberapa kelompok sampel yang berbeda dengan resiko kesalahan terkecil.
2. Mengetahui signifikansi perbedaan rata-rata (μ) antara kelompok sampel yang satu dengan yang lain. Bisa jadi, meskipun secara numeris bedanya besar, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut TIDAK SIGNIFIKAN sehingga perbedaan μ bisa diabaikan. Sebaliknya, bisa jadi secara numeris bedanya kecil, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut SIGNIFIKAN, sehingga minimal ada satu μ yang berbeda dan perbedaan μ antar kelompok sampel tidak boleh diabaikan.
3. Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium hingga eksperimen periklanan, psikologi, dan kemasyarakatan.
   

Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis varians (anova):

1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-Snedecor
2. Varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas, karena hanya digunakan satu penduga (estimate) untuk varians dalam contoh
3. Masing-masing contoh saling bebas, yang harus dapat diatur dengan perancangan percobaan yang tepat
4. Komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif (saling menjumlah).

Jenis-jenis dari Analisis of Variance (Anova).

Pemilihan tipe ANOVA tergantung dari rancangan percobaan (experiment design) yang kita pilih .

1. Anova satu arah biasa dikenal one way anova

Maksud dari kasus ini yaitu untuk menguji perbedaan rata-rata lebih dari dua sampel dimana dalam melakukan analisis hanya bisa satu arah. Maksud satu arah ini hanya bisa menguji antar kelompok yang satu. Untuk lebih jelasmya kita kasih contoh kasus saja ya.

Contoh kasus Anova satu arah:

Sampel	Penurunan Berat Badan (Kg)
	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
Sampel 1	4	8	7	6
Sampel 2	6	12	3	5
Sampel 3	4	-	-	5

Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur.

Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa ada empat metode (kolom). Dari empat metode itu dilakukan oleh beberapa orang tapi tiap metode dilakukan oleh orang yang berbeda. pada tabel diatas terlihat data diperoleh dari sampel yang berbeda perlakuan antar kelompok karen itu kita hanya bisa membandingkan antar metode tapi tidak bisa membandingkan antar orang karena setiap tidak melakukan metode yang sama. oleh karena itu dikatakan satu arah saja yaitu metode.

2. Anova dua arah tanpa interaksi anova two way without interaction

Jenis anova yang kedua yaitu anova dua arah tanpa interaksi. Artinya bahwa bisa dilakukan interaksi antara kelompok dan perlakuan. maksdunya bisa membandingkan antar antar kelompok atau kah antar perlakuan. berikut contoh kasus.

Contoh kasus Anova dua arah tanpa interaksi:

Umur	Penurunan Berat Badan (Kg)
	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
< 20 tahun	5	6	2	3
20-40	2	7	5	3
> 40 tahun	7	3	4	3

Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur.

Berdasarkan gambat tersebut terlihat bahwa setiap metode memiliki perlakuan yang sama sehingga bisa dikatakan ada hubungan dua arah. tapi tidak ada interaksi.

3. Anova dua arah dengan interaksi anova two way with interaction

Sebelum ini dijelaskan anova dua arah tanpa interaksi. dikatakan anova dengan interaksi ketika setiap kolom [perlakuan] dan blok [baris] diulang. Langsung kecontoh aja ya.

Contoh kasus Anova dua arah dengan interaksi:

Umur	Penurunan Berat Badan (Kg)
	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
< 20 tahun #1 #2 #3	5 4 5	0 2 1	3 4 8	4 2 2
20-40 tahun #1 #2 #3	5 6 2	4 2 1	2 2 4	5 3 2
> 40 tahun #1 #2 #3	4 4 5	5 5 0	2 1 2	6 4 4

Terdapat 4 metode diet, 3 kelompok umur dan 3 ulangan. Berikut adalah data ata-rata penurunan berat badan setelah 1 bulan melakukan diet. Ujilah apakah penurunan berat badan sama untuk setiap metode diet, kelompok umur dan interaksi dengan taraf uji 5 %?

Langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVA

1. Kumpulkan sampel dan kelompokkan berdasarkan kategori tertentu.

   Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).

2. Menentukan tipe anova

   apakah masuk tipe satu arah, tipe dua arah tanpa interaksi atau tipe dua arah dengan interaksi. karena akan berpengaruh pada perhitungan. Menentukan tipe seperti pada penejalasan diatas.

3. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel.

   
   Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian:

   • Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat total (jkt).

     Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.

   • Sum Square Between(SSb) – jumlah kuadrat kolom (jkk).

     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.

   • Sum Square within(SSw) – jumlah kuadrat galat (jkg).

     Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok.

4. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom).

   
   Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau df) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung:

   • Derajat kebebasan untuk JKT

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat total (JKT) ini akan kita lambangkan dengan dof JKT

   • Derajat kebebasan untuk JKK

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat kolom (JKK) ini akan kita lambangkan dengan dof JKK

   • Derajat kebebasan untuk JKG

     Merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat galat (JKG) ini akan kita lambangkan dengan dof JKG
     
     Derajat kebebasan juga memiliki sifat hubungan yang sama dengan sifat hubungan variabel, yakni:
     
     
     dof JKT = dof JKK + dof JKG

5. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.

   
   Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan kuadrat tengah atau deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS atau KT. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
   • KTK = JKK/dof jkk
   • KTG = JKG/dof jkg

6. Menghitung F hitung

   
   Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.Fhitung didapatkan dengan rumus di bawah ini:
   
   
   Fhitung = KTK/KTG

7. Menghitung F tabel

   
   Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-4) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F.

8. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel :

   • Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0
   • Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0

9. Buat kesimpulan,

   sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain.

Contoh penghitungan Analysis of variance (Anova) dengan tabel.

Sumber Keragaman (SK)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat Bebas (db)	Kuadrat Tengah (KT)	F hitung
Kolom (K)	JKK	db JKK	KTK = JKK / db JKK	F hitung = KTK / KTG
Galat (G)	JKG	db JKG	KTG = JKG / db JKG
Total (T)	JKT	db JKT

sumber :  http://statistikceria.blogspot.com/2013/12/uji-hipotesis-dengan-analisis-ragam-analysis-of-variance-anova.html

Pengujian Hipotesis

BAB 7. Pengujian Hipotesis

Pengertian Uji Hipotesis

Banyak pendapat yang menjelaskan arti dari pengujian hipotesis tersebut. Berikut akan dijabarkan beberapa pengertian dari berbagai refrensi yang ada.

Sutrisno Hadi, dalam bukunya yang berjudul “Statistika” istilah hipotesa sebenarnya adalah kata majemuk, terdiri dari kata-kata hipo dan tesa. Hipo besrasal dari bahasa yunani hupo, yang berarti dibawah, kurang atau lemah. Tesa berasal dari bahasa yunani thesis, yang berarti teori atau proposisi yang disajikan sebagai bukti. Jadi hipotesa adalah pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan masih perlu dibuktikan kenyataannya.

J. Supranto, hipotesa pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering dipergunakan untuk dasar pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan atau untuk dasar penelitian yang lebih lanjut.

Soegyono Mangkuatmojo, hipotesis (atau lengkapnya hipotesis statistik) merupakan suatu anggapan atau suatu dugaan mengenai populasi.

Sebelum menerima atau menolak sebuah hipotesis, seorang peneliti harus menguji keabsahan hipotesis tersebut untuk menentukan apakah hipotesis itu benar atau salah.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis mengenai parameter populasi . Ciri-ciri Hipotesis yang baik adalah (1) Hipotesis harus menyatakan hubungan ; (2) Hipotesis harus sesuai dengan fakta ; (3) Hipotesis harus sesuai dengan ilmu ; (4) Hipotesis harus dapat diuji ; (5) Hipotesis harus sederhana ; (6) Hipotesis harus dapat menerangkan fakta.

2.2.             Fungsi Hipotesis

1.                  Menguji teori, artinya  berfungsi  untuk  menguji  kesahihan  teori. Pernyataan  teori dalam bentuk yang teruji disebut hipotesis. Teori adalah satu satu prinsip yang dirumuskan  untuk  menerangkan  sekelompok gejala/peristiwa yang saling berkaitan. Teori menunjukkan adanya hubungan antara fakta yang satu dengan fakta yang lain.

2.                  Menyarankan  teori  baru,  apabila  hasil  pengujian  hipotesis  dapat  membentuk proposisi, asumsi atau penjelasan tentang suatu peristiwa.

3.                  Mendeskripsikan fenomena sosial, artinya hipotesis memberikan  informasi  kepada peneliti tentang apa yang nyata-nyata terjadi secara empirik.

2.3.            Jenis Kesalahan (Type of Error)

Ada dua jenis kesalahan yang bisa terjadi di dalam pengujian hipotesa. Kesalahan itu bisa terjadi karena kita menolak hipotesa padahal hipotesa itu benar atau kita menerima hipotesa padahal hipotesa itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesa padahal hipotesa tersebut benar, disebut kesalahan jenis I, sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesa padahal hipotesa itu salah disebut kesalahan jenis II.

2.4.            Jenis Pengujian

    Berdasarkan Jenis Parameter,

Pengujian hipotesis tentang rata-rata, pendapat anggapan yang merupakan hipotesa, apabila dipergunakan untuk membuat keputusan atau untuk menentukan langkah-langkah selanjutnya, harus diuji terlebih dahulu. Setiap keputusan seyogyanya didasar atas hasil pengujian hipotesa.

·        
Pengujian hipotesis satu rata-rata

Pengujian hipotesa dan aturan permainan :

I.                   Ho : U = Uo, kalau Zo > Zα, Ho ditolak

            Ha : U > Uo, kalau Zo < Za, Ha diterima

II.                Ho : U = Uo, kalau Zo < Zα, Ho ditolak

            Ha : U < Uo, kalau Zo > Za, Ha diterima

III.             Ho : U = Uo, kalau Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2, Ho ditolak

            Ha : U ≠ Uo, kalau - Zα/2  < Zo < Zα/2, Ha diterima

Contoh soal :

Menurut pendapat seorang pejabat dari departemen sosial rata-rata penerimaan perbulan anak-anak penjual koran di suatu ibu kota provinsi sebesar Rp. 7000 dengan alternatif lebih besar dari itu. Diketahui simpangan baku dari penerimaan sebesar rp. 1600. Untuk menguji pendapatnya telah diselidiki 256 orang anak yang dipilih secara acak. Ternyata rata-rata penerimaan mereka sebesar Rp. 7100. Dengan menggunakan α = 5% ujilah pendapat tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 256 ;  a = 5% ;              mo = 7000 ;    sd = 1600 ;  X = 7100

a. Formula Hipotesis

Ho :        m  = 7000                 Ha :        m < 7000

b. Taraf nyata dan nilai Z tabel

                a = 5%                   Z_0,05 = -1,64 (Uji sisi kiri)

c. Kriteria pengujiannya

                Ho diterima jika                              : Zo ≥ -1,64

                Ho ditolak jika                                : Zo < -1,64

d. Uji Statistik

                Zo = (7100 - 7000) / (1600)      = 1

                maka  Zo < -1,64   è Ho diterima

e. Kesimpulan

rata-rata penerimaan anak penjual koran sebesar Rp. 7000 per bulan.

·         Pengujian hipotesis beda dua rata-rata

Perumusan hipotesanya sebagai berikut

Ho : U1 – U2 = 0 atau U1 = U2 (tak ada perbedaan berarti sama)

(1)   Ha : U1 – U2 > 0 (ada perbedaan U1 > U2)

(2)   Ha : U1 – U2 < 0 (ada perbedaan U1 < U2)

(3)   Ha : U1 – U2 ≠ 0 (U1 berbeda dengan U2)

a)      n > 30 (sampel besar)

b)      n < 30 (sampel kecil)

 

to mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar n₁ + n₂ – 2.

Contoh soal :

            Seorang pemilik toko yang menjual dua macam lampu, merk A dan B. Berpendapat bahwa tidak ada perbedaan di dalam rata-rata lamanya menyala dari kedua merk tersebut dengan alternatif ada perbedaan (tak sama). Untuk maksud pengujian dinyalakan 100 buah lampu dan 50 buah bola lampu merk A dan B. Merk A mampu menyala rata-rata 952 jam sedangkan merk B 987 jam, masing masing dengan simpangan baku 85 jam dan 92 jam. α= 5% ujilah pendapat tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui :

nA = 100 ; nB = 50 ; XA = 952 ; XB = 987 ; SA = 85 ; SB = 92 ;  a = 5% ;             

a. Formula Hipotesis

Ho :        m  = 7000                 Ha :        m < 7000

b. Taraf nyata dan nilai Z tabel

                a = 5%                   Zα/2 = 1,96

c. Kriteria pengujiannya

Ho : U = Uo, kalau Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2, Ho ditolak

            Ha : U ≠ Uo, kalau - Zα/2  < Zo < Zα/2, Ha diterima

d. Uji Statistik

Z_o = -2,26 < -1,96 maka tolak H_o.  

e. Kesimpulan :

rata-rata lamanya menyala dari dua lampu yang berbeda tersebut tidak sama.

·                     Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata

Kalau objek yang akan di perbandingakan rata-ratanya lebih dari dua harus menggunakan F test. Akan tetai kalau banyaknya objek yang akan diperbandingkan hanya ada 2 (k=2) cara pengujian cukup menggunakan z (normal test) atau t (t test) bisa ditunjukkan bahwa t_v² + f1, v, dimana v =derajat kebebasan.

H_o : U₁ = U₂ = . . . . = U_k

H_a : tak semua sama

Variance antara rata-rata sampel

Rumus V.2     

Rumus V.3     

Rumus V. 4      

Rumus V.5       

F_o =

Contoh soal :

Seorang ahli pemasaran berpendapat bahwa tidak ada perbedaan rata-rata harga suatu jenis barang dari tiga pasar dengan alternatif ada perbedaan. Untuk keperluan pengujiannya pendapat itu dilakukan penelitian terhadap barang perminggu. Selama 4 minggu dan hasilnya sebagai berikut :

Minggu	pasar
	P1	P2	P3
I	22	22	25
II	21	25	29
III	26	24	28
IV	23	25	30
Rata-rata	23	24	28	25
	X1	X2	X3	X

Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut !

Penyelesaian :

       = ½ {(23-25)² + (24-25)² + (28-25)²} = 7 

= 3,78

F_o = 28/3,78 = 7,41

F_α (V1, V2) = F 0.05 (k-1), k (n-1) = 4,26

Oleh karena Fo = 7,41 > F tabel 4,26 ; maka Ho ditolak. Berarti ada perbedaan harga rata-rata dari 3 pasar tersebut atau rata-rata hanya dari tiga pasar tidak sama.

    Pengujian hipotesis tentang proporsi

Pengujian hipotesis satu proporsi, Dalam praktek sering kali pendapat tentang proporsi (persentase) yang harus di uji, misalnya persentase barang yang rusak 25%. Pengujian hipotesisnya dinyatakan dalam proposrsi. Cara pengujiannya sama seperti menguji rata-rata.

n          = banyaknya elemen sampel X         = banyaknya elemen sampel   dengan karakteristik tertentu

Ho : p = po

Ha : p > po

Ha : p < po

Ha : p ≠ po

Contoh soal :

Seorang pejabat Bank Budidaya berpendapat bahwa petani pemimjam kredit bimas yang belum mengembalikan kreditnya kembali sebesar 70% dengan alternatif lebih kecil dari itu. Untuk menguji pendapatnya itu kemudian diteliti sebanyak 225 orang petani peminjam kredit bimas ternyata ada 150 orang yang belum mengembalikan kredit. Dengan α = 10% ujilah pendapat tersebut.

Penyelesaian :

Ho : p = 0,07 ; n = 225 ; X = 150

Ha : p < 0,07 ; α = 10% ; Zα = 1,28 (dari tabel normal)

Oleh karena Zo = -1,09 > -1,28 maka Ho diterima, berarti pendapat tersebut benar.

Pengujian hipotesis beda dua proporsi, Dalam prakteknya mungkin ada persoalan mengenai perbedaan antara dua proporsi, misalnya tidak ada perpedaan persentase penduduk yang setuju KB dari dua desa dan sebagainya.

 

(ṗ dibaca p “cup”)

 

P lebih baik diperkirakan dengan 

Contoh soal :

Seorang pejabat dari direktorat jendral pajak berpendapat bahwwa persentase wajib pajak yang belum membayar pajak dari dua daerah adalah sama dengan alternatif tidak sama. Untuk menguji pendapatnya itu telah diteliti sebanyak 200 orang wajiba pajak dari daerah yang satu, ternyata ada 7 orang yang belum membayar pajak, sedangkan dari 400 orang yang wajib bayar pajak dari daerah yang ke dua ada 10 orang yang belum membayar pajak. Dengan menggunakan α = 5% ujilah pendapat tersebut!

Penyelesaian :

H_o : p₁ = p_{2 ;} H_a : p₁ ≠ p₂

N = 200 ; X1 = 7 ; n2 = 400 ; X2 = 10 ; α = 5% ; Z_α/2 = 1,96 dari tabel normal

Oleh karena Z_o = 0,71 terletak antara -1,96 dan 1,96 maka H_o diterima, berarti bahwa persentase wajib pajak yang belum membayar pajak dari dua daerah adalah sama.

Pengujian hipotesis beda tiga proporsi, Dalam praktik sering ada pendapat yang perlu diuji/persentase barang yang rusak dari 3 pabrik sama (tidak berbeda).

Contoh soal :

Seorang pejabat dari BKKBN (badan koordinasi keluarga berencana nasional) berpendapat bahwa tidak ada perbedaan persentase penduduk yang setuju KB dari empat tingkat pendidikan dengan alternatif ada perbedaan. Untuk menguji pendapatnya itu telah diteliti 1600 penduduk dan hasilnya sebagai berikut.

	SLTP	SMA	SM	S	jumlah
Setuju	312 (315)*	348(375)	243(225)	297(285)	1200
Tidak setuju	108(105)	152(1250	57(75)	83(95)	400
jumlah	420	500	300	380	1600

*) angka dalam kurung adalah frekwensi harapan

dengan menggunakan α = 1%, ujilah pendapat tersebut

penyelesaian :

H_o : p1=p2=p3=p4=p

Ha : tidak semuanya sama

α = 1% (0,001), X²_0,01 (3)= 11,341 9dari tabel X²)

e_ij =   ;     ; 

  ;   , dan seterusnya.

oleh karena  = 15,572 > dari X²_α 11,341 maka H_o ditolak berarti persentase penduduk yang setuju KB tidak sama untuk semua tingkatan pendidikan.

      Pengujian hipotesis tentang varian

Pengujian hipotesis satu varian, Sering kali dalam praktik pengetahuan tentang variance yang dipergunakan sebagai ukuran variasi dari suatu kumpulan nilai hasil observasi sangat penting untuk diketahui.seperti kita ketahui, kalau suatu sampel random ditarik dari suatu populasi dengan distribusi normal, maka ratio =   yaitu mengikuti fungsi kai skwer dengan derajat bebas (n-1). Ratio tersebut dipergunakan sebagai dasar untuk pengujian hipotesa, perumusan hipotesa seperti halnya dengan rata-rata proporsi adalah sebagai berikut :

Ho : σ² = σ² ; Ha : σ² > σ² ; Ha : σ² < σ² ; Ha : σ² ≠ σ²

Contoh soal:

Suatu perusahaan makanan ternak, ingin mengetahui apakah sejenis makana baru dapat mengurangi variasi berat ternak sebagai akibat dari jenis makanan tersebut. Pemilik perusahaan tersebut beranggapan, setelah ternak diberi makanan tersebut selama 3 bulan, akan tercapai variasi berat dinyatakan dalam variance sebesar 1600 pon, dengan alternatif lebih kecil dan itu hampir sama (homogen). Dipilih sebagao sampel acak kemudian diberikan makana barui tersebut selama 3 bulan. Setelah 3 bulan dilakukan penimbangan  ternyata diperoleh variance berat badan sebesar 1000 pon. Dengan menggunakan α = 0,025 ujilah pendapat tersebut.

Penyelesaian ;

Ho : σ² = 1600 ; Ha : σ² < 1600 ; n = 30 ; S² = 1000

 ,

α = 0,025, karenapengujian ini menggunakan sebelah kiri kurva maka dari tabel X² dengan derajat kebebasan (n-1) = 30-1 = 29, diperoleh P(X²>16, 0471) = 1- α = 0,975

dengan demikian X²_{0.975 (29)} = 16,0471 = 16,05. Oleh karena X² > X²_{0.975 (29)} terletak didaerah penerimaan maka H_o diterima. Berati anggapan pemilik perusahaan makanan ternak yang mengatakan bahwa variance berat ternak sebesar 1000 pon dapat diterima.

Pengujian hipotesis kesamaan dua varian

Ho : σ² = σ² ; Ha : σ² ≠ σ² ; Fo =  ; Fo mengikuti fungsi F dengan derajat kebebasan sebesar (n₁-1), (n₂-2).

Contoh soal :

Seorang insinyur peternakan mempunyai anggapan bahwa variasi sejenis ternak yang diberi makanan ternak dari dua merk/pabrik  yang berbeda katakan A dan B. Sama (tidak berbeda) dengan alternatif tidak sama. Untuk menguji pendapatnya, 50 ekor ternak tersebut dipilih secara acak . sebagai sampel 25 ekor diberi makanan A dan 25 ekor lainnya diberi makanan B. Setelah 3 bulan berat badan ternak tersebut ditimbang, variance berat dihitung, dengan makanan A variance berat badan 900 pon sedangkan dengan B 1400 pon, dengan α = 5% ujilah pendapat tersebut.

Penyelesaian :

Ho : σ² = σ² ; Ha : σ² ≠ σ²  ; nA =nB = 25, SA2 = 900 ; SB2 = 1400

Karena S_B²>S_A², S_B² = S₁², S_A²=S₂² , n_B = n₁, n_A = n₂

F_o = 1400/900 = 1,555

Fα (v1, v2) = Fα. (n1-1), (n2-1) = F0,05 (24), (24) = 1,98 dari tabel F

Oleh karena Fo = 1,555 < F0,05 (24), (24) = 1,98, maka Ho diterima. Berarti tak ada perbedaan variasi berat badan ternak sebagai akibat dari merk makanan yang berbeda.

    Berdasarkan Jumlah Sampelnya

a. Pengujian hipotesis sampel besar

pengujian hipotesis yang menggunakan sampel n > 30

b. Pengujian hipotesis sampel kecil

pengujian hipotesis yang menggunakan sampel n ≤ 30

     Berdasarkan Jenis Distribusinya

a. Pengujian hipotesis dengan Distribusi Z

pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi Z sebagai Uji statistik.

1. Uji Hipotesis rata-rata

2. Uji Hipotesisi beda dua rata-rata

3. Uji Hipotesis proporsi

4. Uji Hipotesis beda dua proporsi

b. Pengujian hipotesis dengan Distribusi t

pengujian hipotesis yang menggunakan  distribusi t sebagai Uji statistik.

c. Pengujian hipotesis dengan Distribusi F

pengujian hipotesis yang menggunakan  distribusi F sebagai Uji statistik.

      Berdasarkan arah atau bentuk formulasinya

a. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

pengujian hipotesis dimana hipotesis nol berbunyi “sama dengan” dan alternative berbunyi “tidak sama dengan”.

Ho : q = qo ; Ha : q ≠ qo

b. Pengujian hipotesis pihak kiri / sisi kiri

c. Pengujian hipotesis pihak kanan/sisi kanan

2.5.            Prosedur pengujian hipotesis

      Menentukan formulasi hipotesis

Hipotesis nol, Hipotesis nol yaitu (Ho) dirumuskan sebagai pernyataan yang akan diuji. Rumusan pengujian hipotesis, hendaknya Ho dibuat pernyataan untuk ditolak. Hipotesis nihil/nol yaitu hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih

Hipotesis Alternatif / Tandingan (Ha / H1), Hipotesis alternatif dirumuskan sebagai lawan /tandingan hipotesis nol. Hipotesis alternatif (a) yaitu hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih.

Bentuk Ha terdiri atas :

Ho : q = qo ; Ha :  q > qo ; Ha :  q < qo Ha :  q ≠ qo

  Tentukan taraf  nyata (Significant Level)

Taraf nyata (a) adalah besarnya toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dalam bentuk % umumnya sebesar 1%, 5% dan 10% ditulis α 0,01; α 0,05 ; α 0,1. Besarnya kesalahan disebut sbg daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region of rejection).

    Uji rata-rata uji proporsi

Uji rata-rata proporsi	I	II	III
Formulasi Hipotesis	Ho :  m = mo Ha  : m  > mo	Ho :  m = mo Ha  : m  < mo	Ho :  m = mo Ha  : m ≠ mo
Kriteria Pengujiannya	Ho diterima jika  Zo ≤ Za Ho ditolak jika    Zo > Za	Ho diterima jika  Zo ≥ -Za Ho ditolak jika    Zo < -Za	Ho diterima jika  -Za/2 ≤ Zo ≤ Za/2 Ho ditolak jika Zo<-Za/2 ;Zo>Za/2

      Menentukan Nilai Uji Statistik 
      Membuat kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol yang sesuai dengan kriteria pengujiaanya.

     Hipotesis Berdasarkan explanasinya

Hipotesis Deskriptif, Pengujian Hipotesis Deskriptif pada dasarnya merupakan proses pengujian generalisasi hasil penelitian yang didasarkan pada satu jenis sampel. Sehingga kesimpulan pengujian hipotesis deskriptif adalah apakah sampel dapat digeneralisasikan atau tidak dapat digeneralisasikan. Dengan demikian variabel penelitiannya bersifat mandiri sehingga hipotesis ini tidak dalam bentuk perbandingan atau hubungan antar dua lebih variabel.

Hipotesis Komparatif, Pengujian Hipotesis Komparatif berarti menguji parameter populasi yang berbentuk perbandingan melalui ukuran sampel yang juga berbentuk perbandingan. Bila Ho diterima dalam uji hipotesis, berarti perbandingan dua sampel atau lebih tersebut dapat digenerlisasikan untuk seluruh populasi dimana sampel-sampel diambil dengan taraf signifikan tertentu. Variabel penelitian yang digunakan hanya 1 variabel  seperti pada penelitian deskriptif tetapi variabel tersebut berada pada populasi dan sampel yang berbeda. Dapat pula pada populasi atau sampel yang sama tetapi pada waktu yang berbeda. Komparasi dapat dilakukan antara 2 atau lebih sampel (k sampel). Setiap komparasi tersebut, memiliki sampel yang berkorelasi dan sampel independen (tidak berkorelasi).

Contoh sampel berkorelasi adalah :

1.       Perbandingan kinerja kayawan sebelum dilatih dengan yang sudah dilatih.

2.       Perbandingan penjualan produk sebelum dan sesudah penerapan ISO

Sedangan Sampel independen adalah :

1.       Membandingkan kemampuan kerja lulusan Politeknik dengan Brawijaya.

2.       Membandingkan waste beton cast in situ dan precast

Hipotesis Asosiatif, Pengujian Hipotesis Asosiatif merupakan dugaan adanya hubungan antar variabel dalam populasi yang akan diuji melalui hubungan antar variabel dalam sampel yang diambil dari populasi tersebut.Oleh karena itu perlu dihitung koefisien korelasi antar variabel dalam sampel kemudian koefisien korelasi tersebut diuji signifikannya. Dengan demikian uji hipotesis asosiatif adalah menguji koefisien korelasi yang ada pada sampel untuk diberalakukan pada seluruh populasi.

Korelasi merupakan angka yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antar dua variabel. Arah dinyatakan dalam positif / negatif sedangkan kuat dinyatakan dalam besarnya koefisien korelasi.

Sumber :   

Edya Mudyahardjo. 1984. Metode-metode Riset Sosial, IKIP Bandung.

Hadi, Sutrisno. 1981. Statistik. Yayasan penerbitan fakultas psikologi UGM. Yogyakarta

John, W Bes. 1982. Metodologi Penelitian Pendidikan, Usaha Nasional, Surabaya.

Kartini Kartono. 1990. Pengantar Metode Riset Sosial, CV Mandar Maju, Bandung.

Supranto, J. 1986. Statistika teori dan aplikasi. Erlangga. Jakarta. 

 http://ziazannititah-pawana.blogspot.com/2012/06/makalah-statistika-uji-hipotesis.html